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Ein Gleichungssystem ersten Grades besteht aus zwei oder mehr Gleichungen, in denen die Unbekannten x, y, z oder andere Buchstaben in den Gleichungen vorkommen. Das Ziel ist es, die Werte der Unbekannten zu finden, die alle Gleichungen gleichzeitig erfüllen.
Um Gleichungssysteme ersten Grades lösen zu können, ist es wichtig, sich einige Grundlagen anzueignen und systematisch vorzugehen. Eine gute Methode ist die Anwendung des Additionsverfahrens oder des Einsetzungsverfahrens.
Das Additionsverfahren ermöglicht es, Gleichungssysteme zu lösen, indem man eine oder mehrere Gleichungen multipliziert und dann die Gleichungen so addiert, dass eine Unbekannte wegfällt. Dieser Prozess wird wiederholt, bis alle Unbekannten gelöst sind.
Das Einsetzungsverfahren hingegen basiert darauf, dass man eine Gleichung nach einer Unbekannten auflöst und den Ausdruck dann in eine andere Gleichung einsetzt. Dadurch wird eine Unbekannte eliminiert und es entsteht eine Gleichung mit nur einer Unbekannten, die leicht zu lösen ist.
Um diese Methoden besser zu verstehen, ist es empfehlenswert, einige Übungen zu absolvieren. Hier sind drei Beispiele:
1. Beispiel:
Gegeben ist das Gleichungssystem:
2x + 3y = 8
4x – 2y = 10
Mit dem Einsetzungsverfahren lösen wir zuerst eine Gleichung nach einer Unbekannten auf. Nehmen wir die erste Gleichung:
2x + 3y = 8
-> 2x = 8 – 3y
-> x = (8 – 3y) / 2
Nun setzen wir den Ausdruck für x in die zweite Gleichung ein:
4((8 – 3y) / 2) – 2y = 10
-> 4(8 – 3y) – 4y = 20
-> 32 – 12y – 4y = 20
-> -16y = -12
-> y = 3/4
Jetzt setzen wir den Wert für y in eine der beiden Gleichungen ein, z.B. in die erste Gleichung:
2x + 3(3/4) = 8
-> 2x + 9/4 = 8
-> 2x = 8 – 9/4
-> 2x = 23/4
-> x = 23/8
Die Lösung des Gleichungssystems ist x = 23/8 und y = 3/4.
2. Beispiel:
Gegeben ist das Gleichungssystem:
3x + y = 11
2x – 4y = -2
Mit dem Additionsverfahren multiplizieren wir die erste Gleichung mit 4 und die zweite Gleichung mit 3, um die Koeffizienten der y-Unbekannten gleich zu machen:
12x + 4y = 44
6x – 12y = -6
Wenn wir nun beide Gleichungen addieren, fällt die y-Unbekannte weg:
18x = 38
-> x = 38/18
-> x = 19/9
Um den Wert für y zu berechnen, setzen wir den Wert für x in eine der beiden Gleichungen ein, z.B. in die erste Gleichung:
3(19/9) + y = 11
-> 57/9 + y = 11
-> y = 99/9 – 57/9
-> y = 42/9
-> y = 14/3
Die Lösung des Gleichungssystems ist x = 19/9 und y = 14/3.
3. Beispiel:
Gegeben ist das Gleichungssystem:
x + y = 7
2x – 3y = 1
Mit dem Einsetzungsverfahren lösen wir zuerst die erste Gleichung nach x auf:
x = 7 – y
Nun setzen wir den Ausdruck für x in die zweite Gleichung ein:
2(7 – y) – 3y = 1
-> 14 – 2y – 3y = 1
-> -5y = -13
-> y = 13/5
Setzen wir den Wert für y in eine der beiden Gleichungen ein, z.B. in die erste Gleichung:
x + (13/5) = 7
-> x = 35/5 – 13/5
-> x = 22/5
Die Lösung des Gleichungssystems ist x = 22/5 und y = 13/5.
Diese Übungen sollten Ihnen dabei helfen, Gleichungssysteme ersten Grades besser zu verstehen und zu lösen. Je mehr Übung Sie haben, desto schneller werden Sie in der Lage sein, solche Gleichungssysteme zu meistern.
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