Die Substitutionsmethode ist eine weit verbreitete Methode zur Lösung linearer Gleichungssysteme. Sie gehört zu den grundlegenden mathematischen Werkzeugen und wird in vielen Bereichen wie der Physik, der Ingenieurwissenschaft und der Wirtschaft angewendet. Die Substitutionsmethode ermöglicht es, das Gleichungssystem schrittweise zu vereinfachen und nach und nach die Unbekannten zu berechnen.

Um die Substitutionsmethode anwenden zu können, muss das Gleichungssystem in der Form

a₁x + b₁y = c₁
a₂x + b₂y = c₂

vorliegen, wobei x und y die Unbekannten sind und a₁, b₁, c₁ sowie a₂, b₂, c₂ die gegebenen Koeffizienten sind.

Der erste Schritt besteht darin, eine der beiden Gleichungen nach einer der Unbekannten aufzulösen. Angenommen, wir entscheiden uns dafür, die erste Gleichung nach x aufzulösen. Das bedeutet, wir isolieren x auf einer Seite der Gleichung:

x = (c₁ – b₁y) / a₁

Nun können wir diese Gleichung in die zweite Gleichung einsetzen:

a₂((c₁ – b₁y) / a₁) + b₂y = c₂

Durch Umformen und Kürzen erhalten wir:

a₂(c₁ – b₁y) + b₂y * a₁ = c₂ * a₁

Nun müssen wir die Gleichung weiter vereinfachen:

a₂c₁ – a₂b₁y + b₂a₁y = c₂a₁

Die Koeffizienten von y zusammenzufassen:

(- a₂b₁ + b₂a₁)y = c₂a₁ – a₂c₁

Schließlich teilen wir die Gleichung durch den Koeffizienten von y, um y zu berechnen:

y = (c₂a₁ – a₂c₁) / (- a₂b₁ + b₂a₁)

Nachdem wir y berechnet haben, setzen wir den Wert von y in die ursprüngliche Gleichung ein, um x zu berechnen:

x = (c₁ – b₁y) / a₁

Die Substitutionsmethode ermöglicht es uns also, schrittweise die Werte der Unbekannten in einem linearen Gleichungssystem zu berechnen. Indem wir eine Gleichung nach einer Unbekannten auflösen und den Wert in die andere Gleichung einsetzen, können wir die Unbekannten nacheinander bestimmen.

Es gibt jedoch auch Situationen, in denen die Substitutionsmethode nicht angewendet werden kann oder zeitaufwändig ist. Zum Beispiel kann es vorkommen, dass das Gleichungssystem keine eindeutige Lösung hat oder dass die Berechnung der Unbekannten kompliziert ist. In solchen Fällen können andere Lösungsmethoden wie etwa das Gaußsche Eliminationsverfahren oder die Matrixmethode verwendet werden.

Insgesamt ist die Substitutionsmethode eine wichtige Methode zur Lösung von linearen Gleichungssystemen. Sie ermöglicht es, schrittweise die Unbekannten zu berechnen und wird in vielen Bereichen der Mathematik und angewandten Wissenschaften angewendet.

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