Substitutionsmethode für lineare Systeme

Die Substitutionsmethode ist eine der Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen. Sie basiert auf dem Ansatz, eine Variable in einer Gleichung durch eine andere Variable auszudrücken und diese dann in die anderen Gleichungen einzusetzen. Dadurch wird das Gleichungssystem in eine einzige Gleichung mit nur einer Variablen umgewandelt, die leicht zu lösen ist.

Um die Substitutionsmethode anzuwenden, müssen wir zuerst das gegebene lineare Gleichungssystem in der Form ax+by=c und dx+ey=f darstellen. Nehmen wir an, wir haben folgendes Gleichungssystem:

2x+y=8 (1)
4x-3y=6 (2)

In diesem Fall wählen wir eine Variable aus einer der Gleichungen aus und lösen sie nach dieser Variable auf. Angenommen, wir wählen die Variable y in der ersten Gleichung:

y = 8 – 2x

Nun setzen wir den Ausdruck für y in die andere Gleichung ein:

4x – 3(8 – 2x) = 6

Durch Ausmultiplizieren erhalten wir:

4x – 24 + 6x = 6

Wir vereinfachen die Gleichung weiter:

10x – 24 = 6

Um x zu isolieren, addieren wir 24 zu beiden Seiten der Gleichung:

10x = 30

Dividieren wir nun beide Seiten der Gleichung durch 10:

x = 3

Nun setzen wir den Wert von x in den Ausdruck für y ein:

y = 8 – 2(3)
y = 8 – 6
y = 2

Die Lösung für diese Gleichungssystem ist also x = 3 und y = 2. Wir können dies überprüfen, indem wir die Werte in die ursprünglichen Gleichungen einsetzen:

2(3) + 2 = 8 => 6 + 2 = 8 => 8 = 8 (erste Gleichung wahr)
4(3) – 3(2) = 6 => 12 – 6 = 6 => 6 = 6 (zweite Gleichung wahr)

Die Substitutionsmethode funktioniert also, wenn wir eine der Variablen in einer Gleichung durch eine andere Variable ausdrücken und sie dann in die anderen Gleichungen substituieren. Durch sukzessive Anwendung dieser Methode können wir das lineare Gleichungssystem Schritt für Schritt vereinfachen und schließlich zu einer Lösung gelangen.

Es ist zu beachten, dass die Substitutionsmethode nicht immer die schnellste Methode zur Lösung von linearen Gleichungssystemen ist. Insbesondere bei größeren Systemen kann sie mühsam und zeitaufwendig sein. In solchen Fällen können andere Verfahren wie die Gaußsche Eliminationsmethode effizientere Lösungen bieten. Dennoch ist die Substitutionsmethode ein wichtiges Werkzeug in der linearen Algebra und kann in vielen Fällen gute Ergebnisse liefern.

Insgesamt ist die Substitutionsmethode ein nützliches Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen. Sie bietet eine systematische Vorgehensweise, um die Variablen schrittweise zu eliminieren und eine eindeutige Lösung zu finden. Durch ihre Anwendung können komplexe mathematische Probleme auf übersichtliche Weise gelöst werden.