Potenzen mit gleicher Basis – Subtraktion

Bei Potenzen handelt es sich um mathematische Berechnungen, die besonders häufig in der Algebra verwendet werden. Eine Potenz besteht aus einer Basis und einem Exponenten. Die Potenz wird berechnet, indem die Basis mit sich selbst multipliziert wird, so oft wie der Exponent angibt. Doch was passiert eigentlich, wenn wir Potenzen mit gleicher Basis subtrahieren?

Wenn wir zwei Potenzen mit gleicher Basis subtrahieren, behalten wir die Basis bei und subtrahieren die Exponenten voneinander. Das Ergebnis ist eine neue Potenz mit derselben Basis, aber einem neuen Exponenten. Die Regel lautet also: \[a^m – a^n = a^{m-n}\], wobei \(a\) die Basis und \(m\) sowie \(n\) die Exponenten sind.

Um das Ganze besser zu verstehen, schauen wir uns ein paar Beispiele an:

Beispiel 1: \(5^4 – 5^2 = 625 – 25 = 600\).

In diesem Fall haben wir \(a = 5\), \(m = 4\) und \(n = 2\). Wir subtrahieren die Exponenten voneinander und erhalten \(4 – 2 = 2\). Die neue Potenz lautet also \(5^2\), was 25 ergibt. Das Endergebnis ist 600.

Beispiel 2: \(2^6 – 2^3 = 64 – 8 = 56\).

Hier haben wir \(a = 2\), \(m = 6\) und \(n = 3\). Die Subtraktion von \(m\) und \(n\) ergibt \(6 – 3 = 3\). Die neue Potenz \(2^3\) ergibt 8. Das Endergebnis ist 56.

Die Regel zur Subtraktion von Potenzen mit gleicher Basis lässt sich auch auf komplexe Zahlen anwenden. In diesem Fall wird die Basis beibehalten und die Exponenten subtrahiert. Das Ergebnis ist eine neue Potenz mit derselben Basis und einem neuen Exponenten.

Beispiel 3: \((-2)^5 – (-2)^3 = -32 – (-8) = -24\).

Hier haben wir \(a = -2\), \(m = 5\) und \(n = 3\). Die Subtraktion von \(m\) und \(n\) ergibt \(5 – 3 = 2\). Die neue Potenz \((-2)^2\) ergibt 4. Das Endergebnis ist -24.

Es ist wichtig zu beachten, dass bei der Subtraktion von Potenzen mit gleicher Basis der Wert der Basis nicht geändert wird. Nur die Exponenten werden subtrahiert, um eine neue Potenz zu berechnen. Diese Regel ist sehr nützlich bei der Vereinfachung mathematischer Ausdrücke und beim Lösen von Gleichungen, insbesondere in der Algebra.

Insgesamt ermöglicht die Subtraktion von Potenzen mit gleicher Basis eine vereinfachte Darstellung von mathematischen Ausdrücken und erleichtert das Lösen von mathematischen Problemen. Es gibt jedoch auch andere mathematische Operationen mit Potenzen, wie zum Beispiel die Addition und Multiplikation, die weitere Regeln und Methoden erfordern.

Abschließend lässt sich sagen, dass die Subtraktion von Potenzen mit gleicher Basis eine wichtige Regel in der Algebra ist, die bei der Vereinfachung von mathematischen Ausdrücken und beim Lösen von Gleichungen hilft. Die Basis bleibt dabei erhalten, während die Exponenten subtrahiert werden, um eine neue Potenz zu erhalten. Diese Regel kann auch auf komplexe Zahlen angewendet werden und ist ein grundlegendes Konzept in der Mathematik.

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