Lösungen der Übungen zu linearen Systemen

Ein lineares System besteht aus mehreren linearen Gleichungen, die gleichzeitig erfüllt werden müssen. Lineare Systeme werden in vielen Bereichen der Mathematik und Physik verwendet, um komplexe Probleme zu lösen. Um diese Systeme zu lösen, müssen wir verschiedene Lösungsverfahren anwenden. In diesem Artikel werden wir uns mit den grundlegenden Lösungen der Übungen zu linearen Systemen beschäftigen.

Das Gleichsetzungsverfahren ist eine der gebräuchlichsten Methoden, um lineare Systeme zu lösen. Bei dieser Methode wählen wir eine der Variablen aus und setzen sie in beiden Gleichungen gleich. Dadurch erhalten wir eine Gleichung mit einer Variable, die wir dann lösen können. Anschließend setzen wir den Wert der Variablen in eine der beiden Ausgangsgleichungen ein und lösen sie erneut. Damit erhalten wir unsere Lösung.

Ein Beispiel für das Gleichsetzungsverfahren ist das folgende lineare System:

Gleichung 1: 2x + 3y = 8
Gleichung 2: 4x – 2y = 2

Wir wählen die Variable x aus und setzen die beiden Gleichungen gleich:

2x + 3y = 8 = 4x – 2y.

Durch Umformungen erhalten wir:

2x – 4x = -2y – 3y
-2x = -5y.

Wenn wir -2x durch -5y teilen, erhalten wir den Wert für x:

x = (-5/2)y.

Nun setzen wir den Wert von x in eine der beiden Gleichungen ein, z.B. in Gleichung 1:

2*(-5/2)y + 3y = 8.

Nach weiteren Umformungen erhalten wir:

-5y + 3y = 8
-2y = 8
y = -4.

Jetzt setzen wir den Wert von y in die ursprüngliche Gleichung für x ein:

x = (-5/2)*(-4)
x = 10.

Unsere Lösung ist also x = 10 und y = -4.

Eine andere Methode zur Lösung linearer Systeme ist das Einsetzungsverfahren. Hierbei lösen wir eine der Gleichungen nach einer Variable auf und setzen diese dann in die andere Gleichung ein. Dadurch erhalten wir eine Gleichung mit nur einer Variable, die wir leicht lösen können. Anschließend setzen wir den Wert der Variable in eine der beiden Ausgangsgleichungen ein und erhalten unsere Lösung.

Ein Beispiel für das Einsetzungsverfahren ist das folgende lineare System:

Gleichung 1: 3x + 4y = 7
Gleichung 2: 2x – 3y = -2.

Wir lösen Gleichung 1 nach x auf:

3x = 7 – 4y.

Durch division von 3 auf beiden Seiten erhalten wir:

x = (7/3) – (4/3)y.

Nun setzen wir den Wert von x in Gleichung 2 ein:

2*((7/3) – (4/3)y) – 3y = -2.

Nach weiteren Umformungen erhalten wir:

(14/3) – (8/3)y – 3y = -2
(14/3) – (8/3 + 9/3)y = -2
(14/3) – (17/3)y = -2
-(17/3)y = -2 – (14/3)
-(17/3)y = -20/3.

Um y zu isolieren, teilen wir beide Seiten durch -(17/3):

y = (-20/3)/-(17/3)
y = 20/17.

Wenn wir den Wert von y in die ursprüngliche Gleichung für x einsetzen, erhalten wir:

x = (7/3) – (4/3)*(20/17)
x = (7/3) – (80/51)
x = (119/51) – (240/51)
x = -121/51.

Unsere Lösung ist also x = -121/51 und y = 20/17.

Das waren zwei Methoden zur Lösung linearer Systeme: das Gleichsetzungsverfahren und das Einsetzungsverfahren. Es gibt noch weitere Methoden wie das Additionsverfahren oder das Gauß-Verfahren, aber diese beiden sind die Grundlagen. Mit diesen Lösungsverfahren können wir Probleme mit linearen Systemen schnell und effizient lösen.