Lösungen der Übungen zu Exponentialgleichungen

Exponentialgleichungen sind mathematische Gleichungen, in denen eine Variable im Exponenten steht. Das Lösen dieser Gleichungen kann manchmal eine Herausforderung sein, erfordert jedoch nur ein grundlegendes Verständnis der exponentiellen Funktionen. In diesem Artikel werden wir uns mit einigen Übungen zu Exponentialgleichungen befassen und deren Lösungen besprechen.

1. Beispielaufgabe:
Lösen Sie die Gleichung 2^x = 8.

Um diese Exponentialgleichung zu lösen, müssen wir den Exponenten isolieren. Wir wissen, dass 2^3 gleich 8 ist, also muss x gleich 3 sein. Die Lösung der Gleichung lautet x = 3.

2. Beispielaufgabe:
Lösen Sie die Gleichung 4(3^(2x)) = 36.

Zuerst können wir die Gleichung vereinfachen, indem wir 36 durch 4 teilen. Wir erhalten dann 3^(2x) = 9.
Um den Exponenten x zu isolieren, nehmen wir den Logarithmus beider Seiten der Gleichung. Dadurch erhalten wir 2x * log3 = log9.
Teilen wir nun beide Seiten der Gleichung durch 2 * log3, um x zu isolieren. Wir erhalten x = log9 / (2 * log3).
Verwenden wir die Logarithmusregeln, können wir diese Gleichung weiter vereinfachen. Mit log9 / (2 * log3) = log3^2 / (2 * log3) = 2 / 2 = 1.
Die Lösung der Gleichung lautet x = 1.

3. Beispielaufgabe:
Lösen Sie die Gleichung 5(2^(x – 1)) = 80.

Zuerst teilen wir beide Seiten der Gleichung durch 5, um die Gleichung zu vereinfachen. Dadurch erhalten wir 2^(x – 1) = 16.
Um x zu isolieren, nehmen wir den Logarithmus beider Seiten der Gleichung. Wir erhalten (x – 1) * log2 = log16.
Teilen wir nun beide Seiten der Gleichung durch log2, um x zu isolieren. Wir erhalten x – 1 = log16 / log2.
Verwenden wir die Logarithmusregeln, können wir die Gleichung weiter vereinfachen. Mit x – 1 = log2^4 / log2 = 4 / log2.
Unsere Lösung lautet also x = 1 + 4 / log2.

Die Lösungen der Übungen zu Exponentialgleichungen können komplex sein und manchmal die Anwendung von logarithmischen Eigenschaften erfordern. Um die Lösungen zu überprüfen, können wir die gefundenen Werte in die ursprünglichen Gleichungen einsetzen und sehen, ob sie die Gleichheit erfüllen. Es ist wichtig, in solchen Übungen genau und sorgfältig zu arbeiten, um Fehler zu minimieren.

Das Lösen von Exponentialgleichungen erfordert ein grundlegendes Verständnis von Exponenten und Logarithmen. Mit Übung und Geduld kann jeder lernen, diese Art von Gleichungen zu lösen und mathematische Probleme zu bewältigen.