Die Lösung einer Ungleichung mit zwei Absolutwerten kann manchmal eine knifflige Angelegenheit sein. In diesem Artikel werde ich Ihnen eine Methode vorstellen, wie Sie solche Ungleichungen lösen können.

Zunächst einmal, was ist eine Ungleichung mit zwei Absolutwerten? Eine solche Ungleichung sieht in der Form |ax + b| < |cx + d| aus, wobei a, b, c und d reale Zahlen sind. Das Ziel ist es, den Wert von x zu finden, der die Ungleichung erfüllt. Um diese Art von Ungleichung zu lösen, können wir eine Fallunterscheidung verwenden. Es gibt drei Fälle, die wir betrachten müssen: Fall 1: Wenn beide Ausdrücke im Absolutwert positiv sind, dann können wir die Ungleichung einfach umschreiben und lösen. Angenommen, |ax + b| < |cx + d| gilt und sowohl ax + b als auch cx + d positiv sind, dann ist ax + b < cx + d. Durch Umstellen der Ungleichung erhalten wir cx - ax > d – b, was zu (c – a)x > d – b führt. Dividiert man beide Seiten der Ungleichung durch c – a, erhält man x > (d – b)/(c – a).

Fall 2: Wenn beide Ausdrücke im Absolutwert negativ sind, müssen wir die Vorzeichen der Ungleichung umkehren. Angenommen, |ax + b| < |cx + d| gilt und sowohl ax + b als auch cx + d negativ sind, dann ist -(ax + b) < -(cx + d). Nach Umstellen der Ungleichung erhalten wir cx - ax < d - b, was zu (c - a)x < d - b führt. Dividiert man beide Seiten der Ungleichung durch c - a, erhält man x < (d - b)/(c - a). Fall 3: Wenn ein Ausdruck im Absolutwert positiv und der andere negativ ist, dann gibt es eine weitere Möglichkeit. Angenommen, |ax + b| < |cx + d| gilt und ax + b > 0, während cx + d < 0 ist. In diesem Fall müssen wir zwei separate Ungleichungen aufstellen und dann die Lösungsmenge beider Ungleichungen finden. Die erste Ungleichung ist ax + b < -(cx + d), die zweite ist ax + b > cx + d. Nach Umstellen der Ungleichungen erhalten wir -ax – b < cx + d und ax + b > cx + d. Durch Addition von ax + b auf beiden Seiten der ersten Ungleichung erhalten wir 0 < 2cx + 2d, was zu cx + d > 0 führt. Daraus ergibt sich x > (0 – d)/c. Durch Subtraktion von ax + b auf beiden Seiten der zweiten Ungleichung erhalten wir 2ax > 0, was zu ax > 0 und schließlich x > 0 führt. Die Lösungsmenge in diesem Fall ist also x > (0 – d)/c und x > 0.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die Lösung einer Ungleichung mit zwei Absolutwerten durch eine Fallunterscheidung gefunden werden kann. Abhängig von den Vorzeichen und dem Vergleich der beiden Ausdrücke im Absolutwert werden verschiedene Ungleichungen aufgestellt und gelöst. Daher ist es wichtig, die Vorzeichen sorgfältig zu überprüfen und die entsprechenden Umstellungen durchzuführen. Mit dieser Methode können Sie Ungleichungen mit zwei Absolutwerten erfolgreich lösen.

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