Lineare Gleichung – Beispiel

Eine lineare Gleichung ist eine mathematische Gleichung, bei der sowohl die Koeffizienten als auch die Unbekannten lineare Funktionen sind. Lineare Gleichungen sind sehr häufig in der Mathematik und Physik anzutreffen und lassen sich oft durch einfache algebraische Methoden lösen. In diesem Artikel werden wir uns ein Beispiel für eine lineare Gleichung anschauen und ihre Lösungsmöglichkeiten diskutieren.

Angenommen, wir haben die Gleichung:

3x + 2y = 8

Diese Gleichung besteht aus zwei Variablen, x und y, und hat zwei lineare Terme, 3x und 2y. Das Ziel ist es, Werte für x und y zu finden, die die Gleichung erfüllen.

Um diese lineare Gleichung zu lösen, gibt es verschiedene Herangehensweisen. Eine Möglichkeit ist die Methode des Gleichsetzens. Hierbei setzen wir die linke Seite der Gleichung gleich der rechten Seite und versuchen, die Unbekannten zu isolieren.

Zuerst nehmen wir die Gleichung 3x + 2y = 8 und setzen sie gleich einer anderen linearen Gleichung, zum Beispiel:

7x – 4y = -2

Jetzt haben wir ein Gleichungssystem mit zwei linearen Gleichungen. Um dieses System zu lösen, können wir die Methode des Gleichsetzens oder die Methode des Einsetzens verwenden.

Wir entscheiden uns für die Methode des Einsetzens. Dazu isolieren wir zuerst eine Unbekannte in einer der Gleichungen. Nehmen wir an, wir isolieren x in der ersten Gleichung:

3x = 8 – 2y

Durch Umformung der Gleichung erhalten wir:

x = (8 – 2y)/3

Jetzt setzen wir diesen Ausdruck für x in die andere Gleichung ein:

7[(8 – 2y)/3] – 4y = -2

Wir lösen diese Gleichung nach y auf:

56 – 14y – 12y = -6

-26y = -58

y = 58/26

y = 29/13

Nun setzen wir den Wert für y zurück in die erste Gleichung ein und lösen sie nach x auf:

3x + 2(29/13) = 8

3x + 58/13 = 104/13

3x = 46/13

x = 46/39

Unsere Lösung für das Gleichungssystem ist x = 46/39 und y = 29/13.

Dieses Beispiel verdeutlicht, wie man eine lineare Gleichung mit zwei Variablen lösen kann. In komplexeren Fällen können lineare Gleichungssysteme auch mit Hilfe von Matrizen und Determinanten gelöst werden. Lineare Gleichungen und ihre Lösungen haben zahlreiche Anwendungen in der Mathematik, Physik, Wirtschaft und vielen anderen Bereichen.

Um lineare Gleichungen erfolgreich lösen zu können, ist es wichtig, mathematische Grundlagen wie algebraische Umformungsmethoden zu beherrschen. Mit ausreichender Übung kann jeder die Fähigkeit entwickeln, komplexe lineare Gleichungen zu lösen und mathematische Probleme zu bewältigen.