Gleichungen ersten Grades mit Systemen

Gleichungen ersten Grades mit Systemen sind ein wichtiger Bestandteil der linearen Algebra und des mathematischen Grundwissens. Diese Art von Gleichungssystemen besteht aus mehreren Gleichungen mit mehreren Unbekannten, die alle gleichzeitig erfüllt werden müssen. In diesem Artikel werden wir uns genauer mit diesen Gleichungssystemen befassen und die Methoden zur Lösung diskutieren.

Ein Gleichungssystem erster Grades kann zum Beispiel wie folgt aussehen:

2x + 3y = 7
4x – 2y = 10

In diesem Fall haben wir zwei Gleichungen mit den beiden Unbekannten x und y. Unser Ziel ist es, die Werte für x und y zu finden, die beide Gleichungen gleichzeitig erfüllen. Um diese Lösung zu finden, können wir verschiedene Methoden anwenden.

Eine Methode zur Lösung solcher Gleichungssysteme ist das Verfahren der Substitution. Hierbei lösen wir eine der Gleichungen nach einer Variablen auf und setzen diese in die andere Gleichung ein. Wir betrachten das oben genannte Beispiel:

2x + 3y = 7 (1)
4x – 2y = 10 (2)

Wir können die erste Gleichung nach x auflösen, indem wir 3y von beiden Seiten subtrahieren:

2x = 7 – 3y

Anschließend setzen wir diese Gleichung in die zweite Gleichung ein:

4(7 – 3y) – 2y = 10

Nun können wir nach y auflösen:

28 – 12y – 2y = 10
28 – 14y = 10

Durch Umstellen der Gleichung erhalten wir den Wert für y:

14y = 28 – 10
14y = 18
y = 18/14
y = 9/7

Jetzt können wir den Wert für y in eine der beiden ursprünglichen Gleichungen einsetzen, um x zu berechnen. Nehmen wir die erste Gleichung:

2x + 3(9/7) = 7

Indem wir x auflösen, erhalten wir:

2x + 27/7 = 7
2x = 7 – 27/7
2x = 49/7 – 27/7
2x = 22/7
x = 11/7

Somit haben wir die Lösung für das Gleichungssystem gefunden. x ist 11/7 und y ist 9/7.

Eine andere Methode zur Lösung von Gleichungssystemen erster Grades ist das Gaußsche Eliminationsverfahren. Bei dieser Methode transformieren wir das Gleichungssystem in eine sogenannte Dreiecksform, indem wir die Koeffizienten der Unbekannten geschickt eliminieren.

Für das Beispielgleichungssystem passt das Eliminationsverfahren folgendermaßen:

2x + 3y = 7 (1)
4x – 2y = 10 (2)

Wir multiplizieren die erste Gleichung mit 2 und subtrahieren sie von der zweiten Gleichung:

4x – 2y – (4x + 6y) = 10 – 14
-8y = -4
y = 1/2

Nun setzen wir den Wert für y in eine der beiden ursprünglichen Gleichungen ein, um x zu berechnen:

2x + 3(1/2) = 7
2x + 3/2 = 7
2x = 14 – 3/2
2x = 25/2
x = 25/4

Somit haben wir mit dem Eliminationsverfahren die Lösung für das Gleichungssystem gefunden. x ist 25/4 und y ist 1/2.

Gleichungen ersten Grades mit Systemen sind ein wichtiges mathematisches Konzept, das sowohl in der linearen Algebra als auch in der Anwendung auf reale Probleme verwendet wird. Die Lösung abhängiger Variablen kann mithilfe verschiedener Methoden ermittelt werden, wie in diesem Artikel beschrieben. Es ist wichtig, diese Methoden zu verstehen und anzuwenden, um komplexe Gleichungssysteme zu lösen und so mathematische Probleme zu bewältigen.