Gleichungen dritten Grades sind mathematische Gleichungen, die eine Variable in der dritten Potenz enthalten. Sie werden auch als kubische Gleichungen bezeichnet und haben die allgemeine Form „ax^3 + bx^2 + cx + d = 0“, wobei a, b, c und d Koeffizienten sind.

Die Lösung einer Gleichung dritten Grades kann auf verschiedene Weisen erfolgen. Eine Methode ist die Anwendung der Cardano-Formel, benannt nach dem italienischen Mathematiker Gerolamo Cardano. Diese Formel ermöglicht es, die Lösungen einer kubischen Gleichung zu berechnen, basierend auf den Wurzeln einer Hilfsgleichung. Dabei können Imaginärzahlen auftreten, wenn keine reellen Lösungen existieren.

Ein Beispiel für eine Gleichung dritten Grades ist „2x^3 – 5x^2 + 3x – 1 = 0“. Um die Lösung zu finden, können wir die Cardano-Formel anwenden. Zuerst werden die Koeffizienten a, b und c identifiziert. In diesem Fall ist a = 2, b = -5 und c = 3. Der Koeffizient d, der konstante Term, ist -1.

Die Cardano-Formel lautet:
x = cuberoot(-q/2 + sqrt((q/2)^2 + (p/3)^3)) + cuberoot(-q/2 – sqrt((q/2)^2 + (p/3)^3)) – b/(3a)

Hierbei sind p = (3ac – b^2)/(3a^2) und q = (2b^3 – 9abc + 27a^2d)/(27a^3).

Anhand der gegebenen Gleichung können wir p und q berechnen:
p = (3*2*3 – (-5)^2)/(3*2^2) = 7/4
q = (2*(-5)^3 – 9*2*(-5)*3 + 27*2^2*(-1))/(27*2^3) = 7/8

Nun setzen wir die berechneten Werte für p und q in die Cardano-Formel ein:
x = cuberoot(-7/8/2 + sqrt((-7/8/2)^2 + (7/4/3)^3)) + cuberoot(-7/8/2 – sqrt((-7/8/2)^2 + (7/4/3)^3)) – (-5)/(3*2)

Diese Gleichung kann weiter vereinfacht werden:
x = cuberoot(-7/16 + sqrt((49/64) + (343/216))) + cuberoot(-7/16 – sqrt((49/64) + (343/216))) + 5/6
x = 1 + 2i/3 + 1 – 2i/3 + 5/6
x = 2

Die Lösung der gegebenen Gleichung lautet x = 2.

Es ist wichtig zu beachten, dass eine kubische Gleichung bis zu drei Lösungen haben kann, aber nicht notwendigerweise. Es können auch reelle Lösungen existieren, wenn die Diskriminante der Hilfsgleichung größer oder gleich null ist. Wenn die Diskriminante negativ ist, gibt es keine reellen Lösungen und stattdessen treten imaginäre Lösungen auf.

Die Arbeit mit Gleichungen dritten Grades erfordert oft komplexe mathematische Kenntnisse und kann ein fortgeschrittenes Niveau in der Algebra voraussetzen. Durch die Anwendung der Cardano-Formel oder anderer Methoden ist es jedoch möglich, die Lösungen solcher Gleichungen zu finden und mathematische Probleme zu lösen, die auf kubischen Funktionen basieren.

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