Erstellen eines Konfidenzintervalls

Ein Konfidenzintervall umfasst zwei Grenzwerte, die untere und die obere Grenze. Die Breite des Intervalls wird durch eine Konfidenzniveau bestimmt, das angibt, wie sicher wir sind, dass der wahre Wert innerhalb des Intervalls liegt. Ein typisches Konfidenzniveau ist beispielsweise 95%, was bedeutet, dass wir 95% Vertrauen haben, dass der wahre Wert innerhalb des Intervalls liegt.

Um ein Konfidenzintervall zu erstellen, benötigen wir zunächst eine Stichprobe aus der Population. Nehmen wir an, wir möchten das Durchschnittsalter einer bestimmten Bevölkerungsgruppe schätzen. Wir messen das Alter von 100 Personen und berechnen den Durchschnitt. Nun möchten wir ein Konfidenzintervall erstellen, um zu wissen, wie genau diese Schätzung ist.

Um das Konfidenzintervall zu bestimmen, müssen wir die Standardabweichung der Population kennen oder schätzen. Ist diese bekannt, verwenden wir die Standardabweichung als Grundlage für die Berechnung. Ist sie unbekannt, verwenden wir die Standardabweichung der Stichprobe.

Die Berechnung des Konfidenzintervalls erfolgt mit Hilfe der sogenannten t-Verteilung. Diese Verteilung berücksichtigt die Unsicherheit, die durch die Schätzung der Standardabweichung entsteht. Wir berechnen die t-Werte für das angegebene Konfidenzniveau und die Anzahl der Freiheitsgrade (N – 1, wobei N die Stichprobengröße ist).

Das Konfidenzintervall wird dann mit Hilfe der Formel:
[Stichprobenmittelwert – (t-Wert * Standardabweichung / Wurzel der Stichprobengröße)] bis [Stichprobenmittelwert + (t-Wert * Standardabweichung / Wurzel der Stichprobengröße)] berechnet.

Angenommen, wir haben eine Stichprobe mit einem Durchschnittsalter von 40 Jahren und einer Stichprobengröße von 100. Wir schätzen die Standardabweichung der Bevölkerung auf 5 Jahre. Für ein Konfidenzniveau von 95% und 99 Freiheitsgraden beträgt der t-Wert ungefähr 1,984.

Die Berechnung des Konfidenzintervalls sieht dann wie folgt aus:
40 – (1,984 * 5 / Wurzel(100)) bis 40 + (1,984 * 5 / Wurzel(100))

Das resultierende Konfidenzintervall beträgt also etwa 38,02 bis 41,98 Jahre. Dies bedeutet, dass wir mit 95% Vertrauen sagen können, dass das Durchschnittsalter in der Bevölkerung zwischen 38,02 und 41,98 Jahren liegt.

Je größer das Konfidenzniveau ist, desto breiter wird das Intervall und desto größer ist unsere Unsicherheit. Ein Konfidenzniveau von 99% würde zu einem breiteren Intervall führen, da wir eine höhere Sicherheit wünschen.

Das Erstellen eines Konfidenzintervalls ist eine wichtige Methode, um statistische Aussagen über eine Population zu machen. Es ermöglicht uns, die Genauigkeit unserer Schätzungen zu bestimmen und Unsicherheiten zu berücksichtigen. Es ist daher ein unverzichtbares Werkzeug in der statistischen Analyse.