Die Behauptung lautet, dass das Quadrat einer ungeraden Zahl immer ungerade ist. In diesem Blogpost werden wir diesen Sachverhalt beweisen.

Was ist eine ungerade Zahl?

Eine ungerade Zahl ist eine Zahl, die nicht ohne Rest durch 2 teilbar ist. Das bedeutet, dass wenn wir eine ungerade Zahl durch 2 teilen, ein Rest von 1 bleibt.

Wie lautet der Beweis?

Um den Beweis zu erbringen, nehmen wir eine beliebige ungerade Zahl und quadrieren sie. Sei n eine ungerade Zahl.

n = 2k + 1

Wobei k eine beliebige ganze Zahl ist.

Das Quadrat von n ist dann wie folgt:

n^2 = (2k + 1)^2

= 4k^2 + 4k + 1

Wir können sehen, dass der erste Term 4k^2 sicher gerade ist, da er den Faktor 2 enthält. Der mittlere Term 4k ist auch gerade, da er ebenfalls den Faktor 2 beinhaltet.

Jetzt bleibt nur der letzte Term 1, der ungerade ist.

Da eine gerade Zahl plus eine gerade Zahl immer gerade ist (gerade + gerade = gerade), und eine gerade Zahl plus eine ungerade Zahl immer ungerade ist (gerade + ungerade = ungerade), können wir schlussfolgern, dass 4k^2 + 4k gerade ist.

Es bleibt nur noch der letzte Term 1. Wir können sicher sagen, dass gerade + ungerade = ungerade, da wir immer einen ungeraden Rest von 1 haben.

Also ist n^2 = (2k + 1)^2 immer ungerade.

Fazit

Der Beweis zeigt, dass das Quadrat einer ungeraden Zahl immer ungerade ist. Die Behauptung steht somit.

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