Berechnung des Z-Scores mithilfe von Mittelwert und Standardabweichung

Der Z-Score ist ein statistisches Maß, das verwendet wird, um zu bestimmen, wie weit ein bestimmter Datenpunkt von einem Durchschnitt entfernt ist. Er ermöglicht es uns, einen Wert relativ zu anderen Werten in einem Datensatz zu bewerten und zu vergleichen. Der Z-Score gibt uns Auskunft darüber, ob ein bestimmter Wert überdurchschnittlich hoch oder niedrig ist.

Um den Z-Score zu berechnen, benötigen wir den Mittelwert und die Standardabweichung des Datensatzes. Der Mittelwert ist der Durchschnitt aller Werte im Datensatz, während die Standardabweichung angibt, wie weit die einzelnen Werte um den Durchschnitt herum variieren. Mit Hilfe des Z-Scores können wir dann feststellen, ob ein bestimmter Wert näher am Durchschnitt liegt oder ob er ein Ausreißer ist.

Die Formel zur Berechnung des Z-Scores lautet:

Z = (Wert – Mittelwert) / Standardabweichung

Nehmen wir an, wir haben einen Datensatz mit den folgenden Werten: 10, 15, 20, 25, 30. Der Durchschnitt beträgt in diesem Fall 20, und die Standardabweichung beträgt 7,07. Wenn wir nun den Z-Score für den Wert 25 berechnen wollen, setzen wir diesen Wert in die Formel ein:

Z = (25 – 20) / 7,07
Z = 0,71

Der berechnete Z-Score von 0,71 zeigt uns an, dass der Wert 25 um 0,71 Standardabweichungen über dem Durchschnitt liegt. Ein positiver Z-Score deutet darauf hin, dass der Wert überdurchschnittlich ist.

Das Gleiche können wir auch für negative Z-Scores tun. Wenn wir beispielsweise den Z-Score für den Wert 15 berechnen möchten, setzen wir diesen Wert in die Formel ein:

Z = (15 – 20) / 7,07
Z = -0,71

Der berechnete Z-Score von -0,71 zeigt uns an, dass der Wert 15 um 0,71 Standardabweichungen unter dem Durchschnitt liegt. Ein negativer Z-Score deutet darauf hin, dass der Wert unterdurchschnittlich ist.

Der Z-Score kann auch verwendet werden, um Ausreißer in einem Datensatz zu identifizieren. Wenn ein Z-Score deutlich größer oder kleiner als der Durchschnitt ist, kann dies ein Anzeichen für einen ungewöhnlichen Wert sein. Je weiter der Z-Score vom Durchschnitt entfernt ist, desto wahrscheinlicher ist es, dass es sich um einen Ausreißer handelt.

Als Faustregel gilt, dass ein Z-Score von ±2 oder größer als Ausreißer betrachtet werden kann. Das bedeutet, dass ein Wert mit einem Z-Score von 2 oder mehr als zwei Standardabweichungen vom Durchschnitt entfernt ist und daher wahrscheinlich als Ausreißer betrachtet werden sollte.

Wenn wir den Z-Score für einen bestimmten Wert berechnen, können wir auch dessen Position innerhalb der Gesamtheit der Daten ermitteln. Der Z-Score gibt uns an, wie viele Prozent der Datenpunkte unter oder über dem betrachteten Wert liegen.

Insgesamt ist der Z-Score ein nützliches Werkzeug, um Daten zu analysieren und Ausreißer zu identifizieren. Durch die Berechnung des Z-Scores mithilfe von Mittelwert und Standardabweichung können wir die Position eines bestimmten Werts innerhalb eines Datensatzes bestimmen und seine Abweichung vom Durchschnitt beurteilen.