Die Berechnung der Ableitung rationaler Funktionen ist ein wichtiger Bestandteil der Differentialrechnung. Eine rationale Funktion ist definiert als der Quotient zweier Polynome, wobei der Nenner nicht den Wert null annimmt. Die Ableitung einer solchen Funktion wird verwendet, um Informationen über ihre Steigung und Veränderung zu gewinnen.

Um die Ableitung einer rationalen Funktion zu berechnen, wenden wir bestimmte Regeln an. Betrachten wir die allgemeine Form einer rationalen Funktion f(x) = P(x)/Q(x), wobei P(x) und Q(x) Polynome sind und Q(x) =/= 0. Die Ableitung dieser Funktion wird wie folgt berechnet:

1. Bestimme den Nenner der Funktion Q(x) und seine Ableitung Q'(x).
2. Bestimme den Zähler der Funktion P(x) und seine Ableitung P'(x).
3. Wende die Quotientenregel an, um die Ableitung der rationalen Funktion zu erhalten.

Die Quotientenregel besagt, dass die Ableitung einer Funktion f(x) = g(x)/h(x), wobei g(x) und h(x) differenzierbare Funktionen sind, wie folgt berechnet wird:

(f(x))‘ = (g'(x)*h(x) – g(x)*h'(x))/ (h(x))^2

Anhand dieser Regel können wir die Ableitung rationaler Funktionen berechnen. Hierzu betrachten wir ein Beispiel:

Gegeben sei die Funktion f(x) = (3x^2 + 4)/(x^3 – 2x).

Um die Ableitung zu berechnen, gehen wir wie folgt vor:

1. Bestimme den Nenner und seine Ableitung:
Q(x) = x^3 – 2x
Q'(x) = 3x^2 – 2

2. Bestimme den Zähler und seine Ableitung:
P(x) = 3x^2 + 4
P'(x) = 6x

3. Wende die Quotientenregel an, um die Ableitung zu berechnen:

f'(x) = (P'(x)*Q(x) – P(x)*Q'(x))/(Q(x))^2
= (6x*(x^3 – 2x) – (3x^2 + 4)*(3x^2 – 2))/(x^3 – 2x)^2
= (6x^4 – 12x^2 – 9x^4 + 6x^2 + 6x^2 – 4)/(x^3 – 2x)^2
= (-3x^4 + 18x^2 – 4)/(x^3 – 2x)^2

Somit ist die Ableitung der gegebenen Funktion f(x) gleich (-3x^4 + 18x^2 – 4)/(x^3 – 2x)^2.

Die Berechnung der Ableitung rationaler Funktionen erfordert die Anwendung der Quotientenregel auf die entsprechende Funktion. Durch das Bestimmen der Ableitungen von Zähler und Nenner können wir die Ableitung der Funktion berechnen. Dies ermöglicht uns, Informationen über die Steigung und Veränderung der Funktion an verschiedenen Punkten zu gewinnen. Die Differentialrechnung bietet uns somit ein mächtiges Werkzeug, um die Eigenschaften rationaler Funktionen zu analysieren.

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