Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung zweiten Grades, also eine Gleichung, in der die höchste Potenz der Unbekannten den Exponenten 2 hat. Im Allgemeinen hat eine quadratische Gleichung die Form ax^2 + bx + c = 0.

Um eine Lösung für eine quadratische Gleichung zu berechnen, gibt es verschiedene Methoden. Eine der bekanntesten Methoden ist die quadratische Ergänzung. Diese Methode wird angewendet, wenn der Koeffizient a (also der Koeffizient vor x^2) nicht eins ist. In diesem Fall teilen wir die gesamte Gleichung durch a, um den Koeffizienten zu vereinfachen.

Nehmen wir als Beispiel die quadratische Gleichung 2x^2 – 7x + 3 = 0. Zuerst teilen wir die Gleichung durch 2, um den Koeffizienten vor x^2 zu vereinfachen. Die Gleichung wird dann zu x^2 – (7/2)x + 3/2 = 0.

Dann versuchen wir, die Gleichung in eine quadratische Parabel umzuformen. Hierzu führen wir die quadratische Ergänzung durch, indem wir das quadratische Binom (x – p)^2 ausmultiplizieren. Das bedeutet, wir müssen den linearen Koeffizienten (also den Koeffizienten vor x) halbieren, das Quadrat davon ergänzen und diese Zahl sowohl zur linken als auch zur rechten Seite der Gleichung addieren.

In unserem Beispiel halbieren wir den Koeffizienten – (7/2), also erhalten wir -7/4. Das Quadrat davon berechnet sich zu (7/4)^2 = 49/16. Wir addieren diese Zahl zur linken und rechten Seite der Gleichung und erhalten x^2 – (7/2)x + 49/16 + 3/2 = 49/16 + 3/2.

Um die Gleichung weiter zu vereinfachen, können wir die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Die Gleichung lautet dann x^2 – (7/2)x + 49/16 + 24/16 = 49/16 + 48/16.

Durch Addition der Brüche erhalten wir x^2 – (7/2)x + 73/16 = 97/16. Um das Gleichgewicht zu halten, müssen wir nun die rechte Seite von der linken Seite subtrahieren. Die Gleichung lautet dann x^2 – (7/2)x + 73/16 – 97/16 = 97/16 – 97/16.

Nach der Subtraktion der Brüche vereinfacht sich die Gleichung zu x^2 – (7/2)x – 24/16 = 0. Durch Kürzen der Brüche erhalten wir x^2 – (7/2)x – 3/2 = 0.

Die quadratische Gleichung wurde nun in die Form (x – p)^2 = q gebracht, wobei p und q bestimmte Zahlen sind. Diese Form ermöglicht es uns, die Lösung der quadratischen Gleichung leicht zu berechnen. In diesem Beispiel ist p = 7/4 und q = 3/2.

Die Lösungen der quadratischen Gleichung können dann durch die Anwendung der quadratischen Wurzel berechnet werden. Wenn (x – p)^2 = q, dann ist x – p = ±√q. Im vorliegenden Beispiel lautet die Lösung x – 7/4 = ±√(3/2). Durch Addition von 7/4 zu beiden Seiten der Gleichung erhalten wir die Lösungen x = 7/4 ±√(3/2).

Dies sind die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung 2x^2 – 7x + 3 = 0. Durch die Anwendung der quadratischen Ergänzung und der quadratischen Wurzel haben wir die Lösungen berechnet und somit das Problem gelöst.

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