Ein quadratisches Trinom ist eine mathematische Gleichung, die aus drei Termen besteht und als höchste Potenz eine Quadratpotenz aufweist. In der allgemeinen Form ist ein quadratisches Trinom gegeben durch die Gleichung: ax^2 + bx + c = 0.

Um die Lösungen eines quadratischen Trinoms zu berechnen, gibt es verschiedene Ansätze. Die bekannteste und am häufigsten verwendete Methode ist die quadratische Ergänzung.

Der erste Schritt bei der Berechnung besteht darin, die Gleichung in die Form (x + p)^2 + q = 0 zu bringen. Dazu wird der Term (ax^2 + bx) durch quadratische Ergänzung ergänzt. Dazu teilen wir den Koeffizienten b in zwei Hälften und addieren bzw. subtrahieren das Quadrat der Hälfte davon. Das bedeutet, wir haben (x + b/2a)^2 – (b^2/4a) + c = 0.

Wenn wir nun den Term q definieren als q = c – (b^2/4a), erhalten wir die Gleichung (x + b/2a)^2 – q = 0. Diese Gleichung kann umgeformt werden in (x + b/2a)^2 = q. Mit der Quadratwurzel beider Seiten erhalten wir die Gleichung x + b/2a = ± √q.

Um x zu isolieren, subtrahieren wir b/2a von beiden Seiten der Gleichung und erhalten x = -b/2a ± √q.

Diese beiden Lösungen sind die Ergebnisse der Berechnung der Lösungen eines quadratischen Trinoms. Es gibt drei mögliche Szenarien, wie die Lösungen aussehen können:

1. Wenn q größer als null ist, haben wir zwei reale Lösungen. Die Gleichung hat dann zwei verschiedene Werte für x, die durch x = -b/2a ± √q dargestellt werden.

2. Wenn q gleich null ist, haben wir eine doppelte reale Lösung. Die Gleichung hat dann nur einen Wert für x, der durch x = -b/2a dargestellt wird.

3. Wenn q kleiner als null ist, haben wir zwei komplexe Lösungen. Die Gleichung hat dann zwei komplexe Werte für x, die durch x = -b/2a ± i√(|q|) dargestellt werden, wobei i die imaginäre Einheit ist.

Es ist wichtig zu beachten, dass die Existenz von Lösungen von den Koeffizienten a, b und c abhängt. Wenn a gleich null ist, handelt es sich nicht mehr um ein quadratisches Trinom, sondern um eine lineare Gleichung. Wenn die Determinante b^2 – 4ac kleiner als null ist, hat das Trinom keine reellen Lösungen, sondern nur komplexe Lösungen.

Die Berechnung der Lösungen eines quadratischen Trinoms kann also mit Hilfe der quadratischen Ergänzung erfolgen. Diese Methode liefert klare Ergebnisse, solange die Determinante größer oder gleich null ist. In jedem Fall ist es wichtig, die spezifischen Koeffizienten des Trinoms in die Berechnung einzubeziehen.

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