Eine ganzzahlige rationale Funktion ist eine Funktion, bei der sowohl der Zähler- als auch der Nennergrad ganzzahlig sind. Sie kann in der Form f(x) = P(x)/Q(x) geschrieben werden, wobei P(x) und Q(x) Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten sind.

Um ein Beispiel für eine solche Funktion zu geben, betrachten wir die Funktion f(x) = (2x^3 + 3x^2 – 4x – 5)/(x^2 – 2x – 3).

Zuerst betrachten wir den Grad des Zählers und des Nenners. Der Zähler hat einen Grad von 3, da der höchste Exponent von x in dem Polynom 3 ist. Der Nenner hat einen Grad von 2, da der höchste Exponent von x in dem Polynom 2 ist. Daher handelt es sich um eine ganzzahlige rationale Funktion.

Um die Funktion zu vereinfachen, können wir mögliche gemeinsame Faktoren im Zähler und Nenner berücksichtigen. In diesem Fall haben der Zähler und der Nenner keine gemeinsamen Faktoren.

Um die Nullstellen der Funktion zu finden, setzen wir den Nenner gleich Null und lösen die Gleichung. In diesem Fall müssen wir die quadratische Gleichung x^2 – 2x – 3 = 0 lösen. Mit Hilfe der quadratischen Formel erhalten wir die beiden Nullstellen x = 3 und x = -1.

Um die Vertikalen Asymptoten zu finden, betrachten wir den Grad des Zählers und des Nenners. Da der Grad des Zählers größer ist als der Grad des Nenners, gibt es keine vertikale Asymptote.

Um die Horizontalen Asymptoten zu finden, betrachten wir den Grad des Zählers und des Nenners. Da der Grad des Zählers gleich dem Grad des Nenners ist, gibt es eine horizontale Asymptote bei y = 2.

Um das Verhalten der Funktion für große x-Werte zu bestimmen, betrachten wir den führenden Koeffizienten des Zählers und des Nenners. Der führende Koeffizient des Zählers ist 2, und der führende Koeffizient des Nenners ist 1. Daher nähert sich die Funktion für große x-Werte 2 an.

Um das Verhalten der Funktion für kleine x-Werte zu bestimmen, betrachten wir den konstanten Term des Zählers und des Nenners. Der konstante Term des Zählers ist -5, und der konstante Term des Nenners ist -3. Daher nähert sich die Funktion für kleine x-Werte -5/-3 an, was ungefähr 1.67 entspricht.

Um das Verhalten der Funktion um die Nullstellen zu bestimmen, betrachten wir das Vorzeichen des Zählers und des Nenners. Für x-Werte größer als 3 ist der Zähler positiv und der Nenner positiv, daher ist der Funktionswert positiv. Für x-Werte zwischen -1 und 3 ist der Zähler negativ und der Nenner positiv, daher ist der Funktionswert negativ. Für x-Werte kleiner als -1 ist der Zähler positiv und der Nenner positiv, daher ist der Funktionswert positiv.

Insgesamt ist die ganzzahlige rationale Funktion f(x) = (2x^3 + 3x^2 – 4x – 5)/(x^2 – 2x – 3) ein Beispiel für eine Funktion mit einem Zähler- und Nennergrad von 3 bzw. 2. Sie hat die Nullstellen x = -1 und x = 3, eine horizontale Asymptote bei y = 2 und nähert sich für kleine x-Werte ungefähr -1.67 an.

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