Ein algebraisches Feld bezeichnet eine mathematische Struktur, die in der Algebra von großer Bedeutung ist. Es handelt sich dabei um einen Körper, der insbesondere von algebraischen Zahlen gebildet wird. Ein algebraisches Feld kann als Unterkörper des Körpers der komplexen Zahlen betrachtet werden.

Um ein algebraisches Feld zu definieren, muss zunächst klar sein, was ein Körper ist. Ein Körper ist eine algebraische Struktur bestehend aus einer Menge von Elementen, auf der zwei Operationen definiert sind: Addition und Multiplikation. Dabei gelten gewisse Axiome, die für alle Elemente des Körpers erfüllt sein müssen. Ein algebraisches Feld ist nun ein Körper, in dem jedes Element algebraisch ist, das heißt, es ist Lösung einer algebraischen Gleichung mit Koeffizienten aus dem Körper.

Ein Beispiel für ein algebraisches Feld ist der Körper der rationalen Zahlen. Jede rationale Zahl ist eine Lösung der Gleichung ax=b, wobei a und b rationale Zahlen sind und a ungleich Null ist. Dies ist eine algebraische Gleichung mit rationalen Koeffizienten, und daher sind alle rationalen Zahlen algebraisch.

Ein weiteres Beispiel für ein algebraisches Feld ist der Körper der reellen Zahlen. Jegliche reelle Zahl ist Lösung einer quadratischen Gleichung mit reellen Koeffizienten. Auch die komplexen Zahlen bilden ein algebraisches Feld, da sie Lösungen von quadratischen Gleichungen sind, in denen jedoch auch komplexe Koeffizienten auftreten können.

Algebraische Felder spielen eine wichtige Rolle in der Zahlentheorie und der Algebra. Sie bieten zum Beispiel eine algebraische Erweiterung des Körpers der rationalen Zahlen an. Dies ermöglicht es, algebraische Gleichungen zu lösen, die mit rationalen Koeffizienten nicht lösbar wären.

Des Weiteren sind algebraische Felder eine wichtige Grundlage für die algebraische Geometrie. In dieser mathematischen Disziplin werden algebraische Kurven und Flächen betrachtet, die Lösungen algebraischer Gleichungen sind. Durch die Erweiterung des Körpers können komplexere algebraische Strukturen betrachtet und analysiert werden.

Zusammenfassend kann festgehalten werden, dass ein algebraisches Feld ein Körper ist, in dem jedes Element Lösung einer algebraischen Gleichung mit Koeffizienten aus dem Körper ist. Beispiele für algebraische Felder sind die rationalen Zahlen, die reellen Zahlen und die komplexen Zahlen. Diese algebraischen Strukturen sind von großer Bedeutung für verschiedene mathematische Teildisziplinen wie die Zahlentheorie und die Algebraische Geometrie.

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