Die Ableitung der logarithmischen Funktion von x ist ein fundamentales Konzept in der Analysis und spielt eine wichtige Rolle in der Differentialrechnung. In diesem Artikel werden wir die Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion näher betrachten.

Die natürliche Logarithmusfunktion wird mit ln(x) abgekürzt und ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion f(x) = e^x. Sie hat eine Vielzahl von Anwendungen in verschiedenen mathematischen und naturwissenschaftlichen Bereichen.

Um die Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion zu berechnen, verwenden wir die Definition der Ableitung als den Grenzwert des Differenzenquotienten. Der Differenzenquotient für das Argument x und eine kleine Veränderung h ist definiert als:

lim (h->0) [ln(x + h) – ln(x)] / h

Um diesen Grenzwert zu berechnen, vereinfachen wir zuerst den Ausdruck im Zähler. Durch Anwendung der Eigenschaften des Logarithmus können wir schreiben:

ln(x + h) – ln(x) = ln[(x + h) / x]

Dann wenden wir die Logarithmengesetze an, um den Ausdruck weiter zu vereinfachen:

= ln(1 + h / x)

Da h klein ist, ist h / x eine kleine Veränderung im Vergleich zu x. Deshalb können wir die Taylor-Reihe für die natürliche Logarithmusfunktion nutzen, um den Ausdruck zu approximieren:

= h / x – (h / x)^2 / 2 + (h / x)^3 / 3 – (h / x)^4 / 4 + …

Nun können wir den Grenzwert des Differenzenquotienten berechnen, indem wir den Grenzwert des Taylor-Polynoms für h->0 betrachten. Beachten Sie, dass alle Terme mit (h / x)^2 oder höher eine höhere Potenz von h enthalten und sich näherungsweise zu null auflösen, wenn h->0.

= lim (h->0) (h / x)

Nun können wir den Grenzwert für h->0 ausrechnen:

= 1 / x

Daraus folgt, dass die Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion ln(x) gleich 1 / x ist.

Dieses Ergebnis ist von großer Bedeutung, da es uns ermöglicht, die Ableitung von Funktionen, die den natürlichen Logarithmus enthalten, zu berechnen. Solche Funktionen kommen oft vor, zum Beispiel in Wachstumsmodellen, Finanz- und Investitionsberechnungen sowie in der Wahrscheinlichkeitstheorie.

Es ist wichtig zu beachten, dass diese Ableitungsregel nur für den natürlichen Logarithmus gilt. Für Logarithmusfunktionen mit anderen Basen, wie zum Beispiel log(x) zur Basis 10, gelten andere Ableitungsregeln.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die Ableitung der logarithmischen Funktion von x gleich 1 / x ist. Dieses Ergebnis ist von großer Bedeutung in der Differentialrechnung und ermöglicht die Berechnung der Ableitung von Funktionen, die den natürlichen Logarithmus enthalten.

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